Operacionet binare të izomorfizmit grupor të grupeve janë shembuj. Izomorfizmi i grupit

Hartëzimi homomorfik i një grupi në një grup të konsideruar më sipër nuk është një me një; dy elementë të ndryshëm a të një grupi kalojnë nën të në të njëjtin element b të grupit (Një hartë nga një grup i fundëm në tjetrin mund të jetë një-me-një vetëm nëse këto grupe kanë të njëjtin rend.) Një-për-një hartëzimi homomorfik nga një grup në tjetrin quhet hartëzimi izomorfik, ose izomorfizëm. Pra, një izomorfizëm grupor është një hartë nga një grup në tjetrin që plotëson dy kushte:

1) për të gjithë elementët a dhe b (homomorfizmi);

2) nëse dhe vetëm nëse (një-për-një).

Shqyrtoni dy shembuj të pasqyrimeve të tilla. Njëra prej tyre përfshin grupe të fundme, dhe tjetra - të pafundme. Lexuesi duhet t'i kushtojë vëmendje faktit të mëposhtëm: izomorfizmi i një grupi në tjetrin do të thotë se ata kanë të njëjtën strukturë algjebrike. Është për këtë arsye që ekziston një izomorfizëm i një grupi në tjetrin.

Le të jenë elementet e grupit H rrënjët e ekuacionit

Operacioni në grup është shumëzimi i zakonshëm. Konsideroni grupin ciklik të rrotullimeve të tilla të një katrori në rrafshin e tij, si rezultat i të cilit ai përkon me vetveten,

Shënoni me një hartë të tillë të grupit në H:

Natyrisht, f është një hartë një-për-një. Por a do të jetë homomorfik? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, ne shqyrtojmë tabelën e shumëzimit në grup (Tabela 9.2) dhe krahasojmë çdo produkt r me imazhin e tij (të shkruar poshtë tij):

Tabela 9.2

Lexuesi mund të kontrollojë lehtësisht (duke marrë parasysh barazinë që imazhet e elementeve të grupit formojnë tabelën e shumëzimit të grupit H. Kështu,

dhe për këtë arsye hartëzimi f nuk është vetëm një me një, por edhe homomorfik. Prandaj f është një izomorfizëm. Në raste të tilla do të themi se grupet dhe H janë izomorfe. Dy grupe janë izomorfe nëse ka një izomorfizëm nga një grup në tjetrin. Nga pikëpamja e këtij përkufizimi, izomorfizmi është njëkohësisht një veti e dy grupeve dhe një veti e hartëzimit që i lidh ato. Është kjo pronë që kishim parasysh kur thamë se grupet kanë të njëjtën strukturë.

Grafikët e dy grupeve izomorfike janë paraqitur në fig. 9.7. Është e qartë se këta grafikë përkojnë deri në shënimin në kulme dhe gjeneratorë.

Si shembull i dytë i grupeve izomorfike, merrni parasysh bashkësinë P të numrave realë pozitivë dhe bashkësinë L të logaritmeve të tyre. (Nuk ka rëndësi se çfarë baze i konsiderojmë logaritmet, por për saktësi do të supozojmë se ato janë dhjetore.)

Para së gjithash, vini re se secili prej këtyre grupeve është një grup në lidhje me operacionin binar të treguar në tabelën e mëposhtme:

Le të vërtetojmë se këto grupe janë izomorfe dhe se harta përcaktohet me formula

është një izomorfizëm. Secili element i grupit L nën hartën e treguar f është imazhi i një elementi nga P. Pra, domeni i kësaj harte është bashkësia e të gjithë numrave pozitivë, dhe fusha e vlerave është bashkësia e të gjithë numrave realë ( Fig. 9.8). Mbetet për ta verifikuar atë

(1) për çdo x dhe y nga

(2) hartëzimi është një me një.

Këtu duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni operacionet në grupet P dhe L. Le të jetë një operacion binar i grupit P dhe një operacion binar i grupit

Pastaj për çdo dy element x, y të grupit P

POR

Gjatësia e një numri nëngrupesh- numri n në përkufizim një numër nëngrupesh.

E

Homomorfizmi natyror te grupi faktor sipas nëngrupit normal Hështë një homomorfizëm që i cakton çdo elementi a grupe koset aH. Bërthama e këtij homomorfizmi është nëngrupi H .

DHE

grup i krijuar përfundimisht- një grup që ka një sistem të fundëm duke gjeneruar.

Përdredhje, Tor G, grup komutativ ose nilpotent Gështë një nëngrup i të gjithë elementëve të një fundme urdhëroj.

L

pronë lokale grupe G. Ata thonë se grupi G ka një pronë lokale P, nëse ndonjë nëngrup i krijuar në fund të fundit i G ka këtë pronë. Shembuj janë fundshmëria lokale, nilfuqia lokale.

Teorema lokale. Thuhet se për disa prona P grupe, teorema lokale është e vërtetë nëse ka ndonjë grup në vend që ka këtë pronë, ajo e zotëron atë.

Për shembull: një grup lokalisht abelian është abelian, por një grup lokalisht i fundëm mund të jetë i pafund.

M

Grupi Metabelianështë një grup komutanti i dytë i të cilit është i parëndësishëm (i zgjidhshëm i hapit 2).

Grupi metaciklikështë një grup që ka ciklike nëngrup normal, grupi i faktorëve të të cilit është gjithashtu ciklik. Çdo grup i kufizuar urdhëroj i cili është pa katror (d.m.th., i papjesëtueshëm me katrorin e asnjë numri) është metaciklik.

Grupi shumëzues trupi është një grup elementët e të cilit janë të gjithë elementë jozero të një trupi të caktuar dhe operacioni përkon me veprimin e shumëzimit në trup.

H

Nëngrupi i sallësështë një nëngrup rendi i të cilit është bashkëprim me indeksin e tij në të gjithë grupin.

C

Qendra e grupit G, zakonisht shënohet Z(G), përkufizohet si

me fjalë të tjera, ky është nëngrupi maksimal i elementeve që lëvizin me secilin element G.

4. Izomorfizmi i grupit.

Përkufizimi.

Një hartë e dy grupeve G dhe K quhet izomorfizëm, nëse

1. Hartëzimi j është një me një. 2. Hartimi j ruan operacionin: .

Meqenëse anasjellta e j-së është gjithashtu një izomorfizëm, koncepti i paraqitur është simetrik në lidhje me grupet G dhe K, të cilët quhen izomorfikë.

1. Grupet e rrotullimeve të rrafshit dhe rreth pikave dhe janë izomorfe me njëra-tjetrën. Në mënyrë të ngjashme, grupet që përbëhen nga rrotullime të hapësirës rreth çdo dy boshti do të jenë gjithashtu izomorfikë.

2. Grupi dihedral dhe grupi hapësinor përkatës janë izomorfikë.

3. Grupi i tetraedrit T është izomorfik ndaj grupit të përbërë nga permutacione çift të shkallës së katërt. Për të ndërtuar një izomorfizëm, mjafton të numërohen kulmet e tetraedrit me numrat 1,2,3,4 dhe të vihet re se çdo rrotullim që bashkon tetraedrin me vetveten i rirregullon kulmet e tij në një farë mënyre dhe, për rrjedhojë, vendos një zëvendësim të grupi (1,2, 3, 4) Rrotullimet rreth boshtit që kalon nëpër një kulm (për shembull 1), e lë simbolin 1 në vend dhe në mënyrë ciklike ndërron simbolet 1, 2, 3. Të gjitha ndërrime të tilla janë çift. Rrotullimi rreth boshtit që lidh mesin e skajeve (për shembull, 12 dhe 34) ndërron simbolet 1 dhe 2, si dhe 3 dhe 4. Ndërrime të tilla janë gjithashtu çift.

4. Formula përcakton një korrespondencë një-për-një ndërmjet bashkësisë R të numrave realë dhe bashkësisë së numrave pozitivë. Ku. Do të thotë se është një izomorfizëm.

Komentoni. Në algjebër abstrakte, grupet izomorfike konsiderohen të njëjta. Në thelb, kjo do të thotë që veçoritë individuale të elementeve të grupit dhe origjina e operacionit algjebrik janë injoruar.

5. Koncepti i një nëngrupi.

Një nëngrup jo bosh quhet nëngrupi nëse vetë është një grup. Më në detaje, kjo do të thotë se , dhe .

Shenja e nëngrupit.

Një nëngrup jo bosh është një nëngrup nëse dhe vetëm nëse .

Dëshmi.

Nga njëra anë, kjo deklaratë është e qartë. Le tani - çdo element. Le të marrim nëngrupet si shenjë. Pastaj marrim . Tani le të marrim . Pastaj marrim .

Shembuj të nëngrupeve.

1. Për grupet e transformimit, koncepti i ri dhe i vjetër i një nëngrupi janë ekuivalent me njëri-tjetrin.

2. është një nëngrup permutacionesh çift.

5. Le të jetë G ndonjë grup dhe çdo element fiks. Konsideroni grupin të gjitha shkallët e mundshme të këtij elementi. Për aq sa , grupi në shqyrtim është një nëngrup. Quhet nëngrup ciklik me gjenerator g.

6. Le të shqyrtojmë çdo nëngrup grupin që është centralizues i nëngrupit H në grupin G. Nga përkufizimi rezulton se nëse , atëherë, domethënë . Tani është e qartë se nëse , pastaj dhe dhe kështu centralizuesi është një nëngrup. Nëse grupi G është komutativ, atëherë . Nëse G=H, atëherë centralizuesi përbëhet nga ato elemente që lëvizin me të gjithë elementët e grupit; në këtë rast quhet qendra e grupit G dhe shënohet me Z(G).

Një vërejtje për formën shtesë të shënimit të grupit.

Ndonjëherë, veçanërisht kur një veprim në një grup është komutativ, ai shënohet (+) dhe quhet mbledhje. Në këtë rast, elementi neutral quhet zero dhe plotëson kushtin: g+0=g. Elementi i anasjelltë në këtë rast quhet element i kundërt dhe shënohet (-g). Fuqitë e një elementi g kanë formën g+g+ .+g , quhen shumëfisha të elementit g dhe shënohen me ng.